利用单调有界收敛准则,证明:数列X1=1/2,X(n+1)=(1+Xn*2)/2,(n=1.2.)存在极限
利用单调有界收敛准则,证明:数列X1=1/2,X(n+1)=(1+Xn*2)/2,(n=1.2.)存在极限
数学人气:443 ℃时间:2020-10-01 22:07:00
优质解答
证明:(一)由x1=1/2,x(n+1)=(xn²+1)/2.可得x1=1/2,x2=5/8.∴x1<x2.又2x(n+1)=xn²+1≥2xn.===>x(n+1)≥xn.∴{xn}是递增数列.(二)易知,0<x1<x2<1.假设0<xn<1,===>0<xn²<1.===>1<xn²+1<2.===>1/2<(xn²+1)/2<1.===>x(n+1)<1.∴数列{xn}有上界1.∴{xn}存在极限.可设极限为a,在递推式两边取极限得:2a=a²+1.===>a=1.即极限为1.
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