二次型矩阵,当求出矩阵特征值后,为什么还要特征向量正交变换呢?

1.求出特征值后,即知道了二次型的标准形.如果只是求其标准形,自然至此就完成任务了.
2.但若继续问:要用怎样的线性变换,把所述二次型化为标准形,这时就要回到:
f(x1,x2,x3)=X'AX.(X'表示X的转置)
作变换:X=PY,得g(y1,y2,y3)=(PY)'A(PY)=Y'P'APY=Y'(P'AP)Y.
使(P'AP)成为对角阵即可.(合同)
3.但是,我们求特征向量是按条件:P(逆)AP为对角阵.即按相似来求的.
为了能够用2的分析,就想到,当P是正交阵时,P(逆)=P'
为此求出特征值之后,还要求特征向量,还要正交化,标准化,构成正交阵,才能得到正交线性变换:X=PY.
当然,如果只是要求用可逆线性变换将二次型化为标准形,(只含平方项的),问题比这个相对简单,相应的,保留的性质也比较少了.