根号下1-（x的平方）分之1+（x的平方）的积分

令x＝sinu,则：u＝arcsinx,dx＝cosudu.
∫［（1＋x^2）/√（1－x^2）］dx
＝∫｛［1＋（sinu）^2］/√［1－（sinu）^2］｝cosudu
＝∫［1＋（sinu）^2］du
＝∫du＋∫（sinu）^2du
＝u＋（1/2）∫（1－cos2u）du
＝u＋（1/2）∫du－（1/2）∫cos2udu
＝u＋（1/2）u－（1/4）∫cos2ud（2u）
＝（3/2）u－（1/4）sin2u＋C
＝（3/2）arcsinx－（1/2）sinucosu＋C
＝（3/2）arcsinx－（1/2）x√（1－x^2）＋C
注：若题目不是我所猜测的那样,则请补充说明.不是。。1-x^2和1+x^2都在根号里面。。。即∫[√1+x^2/1-x^2]dx令x＝tanα，则：α＝arctanx，dx＝［1/（cosα）^2］dα。∴∫√［（1＋x^2）/（1－x^2）］dx＝∫√｛［1＋（tanα）^2］/［1－（tanα）^2］｝［1/（cosα）^2］dα＝∫√｛1/［（cosα）^2－（sinα）^2］｝［1/（cosα）^2］dα＝2∫［1/（1＋cos2α）］（1/√cos2α）dα＝∫｛1/［（1＋cos2α）√cos2α］｝d（2α）。令√cos2α＝u，则：cos2α＝u^2，∴－sin2αd（2α）＝2udu，∴d（2α）＝－［2u/√（1－u^2）］du。∴∫√［（1＋x^2）/（1－x^2）］dx＝－2∫｛1/［（1＋u^2）u］｝［u/√（1－u^2）］du。＝－2∫｛1/［（1＋u^2）√（1－u^2）］｝du。令u＝sinβ，则：du＝cosβdβ∴∫√［（1＋x^2）/（1－x^2）］dx＝－2∫｛1/［（1＋sin^2β）cosβ］｝cosβdβ＝－2∫｛1/［1＋（sinβ）^2］｝dβ＝－2∫｛1/［2（sinβ）^2＋（cosβ）^2］｝dβ＝－2∫｛1/［（√2tanβ）^2＋1］｝［1/（cosβ）^2］dβ＝－√2｛1/［1＋（√2tanβ）^2］｝d（√2tanβ）＝－√2arctan（√2tanβ）＋C＝－√2arctan｛√2sinβ/√［1－（sinβ）^2］｝＋C＝－√2arctan［√2u/√（1－u^2）］＋C＝－√2arctan［√（2cos2α）/√（1－cos2α）］＋C＝－√2arctan｛√［2cos（2tanx）］/√［1－cos（2tanx）］｝＋C