椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.(1)求证x1+x2=8;(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线的斜率.
椭圆
+=1上不同三点
A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.
(1)求证x
1+x
2=8;
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线的斜率.
数学人气:369 ℃时间:2019-12-13 20:45:35
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(1)证明:由椭圆方程知a=5,b=3,c=4.
由圆锥曲线的统一定义知:
=
,
∴|AF|=a-ex
1=5-
x
1. 同理|CF|=5-
x
2.
∵|AF|+|CF|=2|BF|,且|BF|=
,
∴(5-
x
1)+(5-
x
2)=
,即x
1+x
2=8.
(2) 因为线段AC的中点为(4,
),所以它的垂直平分线方程为
y-
=-
(x-4)
又∵点T在x轴上,设其坐标为(x
0,0),代入上式x
0-4=
,
又∵点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),都在椭圆上,
∴y
22=
(25-x
22)
∴y
12-y
22=-
(x
1+x
2)(x
1-x
2).
将此式代入①,并利用x
1+x
2=8的结论得x
0-4=-
,K
BT=
=
.
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