二次函数f（x）同时满足下列三个条件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；（3）f（x）=0的两根的平方和等于32．求f（x）的解析式．

由二次函数f（x）同时满足下列两个个条件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值为15；
说明其对称轴为x=1，抛物线开口向下．
可设f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．
化为f（x）=ax²-2ax+a+15，
设f（x）=0的两个实数根为x₁，x₂．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+15

a

．（*）
∵f（x）=0的两根的平方和等于32，∴

x

21

+

x

22

＝32．
化为(x1+x2)2−2x1x2=32．
把（*）代入上式得22−2×

a+15

a

=32，解得a=-1．
∴f（x）=-（x-1）²+15=-x²+2x+14．