已知函数f(x)=lg(x+a/x−2),其中a是大于0的常数 (1)求函数f(x)的定义域; (2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a
已知函数
f(x)=lg(x+−2),其中a是大于0的常数
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
数学人气:134 ℃时间:2019-09-06 09:03:15
优质解答
(1)由
x+−2>0得,
>0 解得a>1时,定义域为(0,+∞)
a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},
0<a<1时,定义域为
{x|0<x<1−或
x>1+}
(2)设
g(x)=x+−2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,
g′(x)=1−=>0恒成立,
∴
g(x)=x+−2在[2,+∞)上是增函数,
∴
f(x)=lg(x+−2)在[2,+∞)上是增函数,
∴
f(x)=lg(x+−2)在[2,+∞)上的最小值为
f(2)=lg;
(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,
即
x+−2>1对x∈[2,+∞)恒成立
∴a>3x-x
2,而
h(x)=3x−x2=−(x−)2+在x∈[2,+∞)上是减函数,
∴h(x)
max=h(2)=2,∴a>2
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