如图1,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC,交直线BC于点E,交⊙O于点D. (1)过点D作MN∥BC,求证:MN是⊙O切线; (2)求证:AB•AC=AD•AE; (3)如图2,AE平分∠BAC的外角∠FAC,交BC的延长线于点
如图1,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC,交直线BC于点E,交⊙O于点D.
(1)过点D作MN∥BC,求证:MN是⊙O切线;
(2)求证:AB•AC=AD•AE;
(3)如图2,AE平分∠BAC的外角∠FAC,交BC的延长线于点E,EA的延长线交⊙O于点D.结论AB•AC=AD•AE是否仍然成立?如果成立,请写出证明过程;如果不成立,请说明
理由.
数学人气:532 ℃时间:2019-11-24 02:14:37
优质解答
证明:(1)连接OD交BC于点H,
∵AD平分∠BAC,
∴
|
BD |
= |
CD |
.
∴OD⊥BC于H.
∵BC∥MN,
∴OD⊥MN于点D.
∴MN是⊙O的切线.
(2)连接CD,
∵∠ABE=∠ADC,∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ADC.
∴
=.
∴AB•AC=AD•AE.
(3)结论AB•AC=AD•AE仍然成立.
连接BD,
∵AE平分∠FAC,
∴∠FAE=∠CAE.
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD.
∵四边形ADBC是圆内接四边形,
∴∠ACE=∠BDA.
∴△AEC∽△ABD.
∴
=.
∴AB•AC=AD•AE.
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