在△ABC中，BC=6，AC=42，∠C=45°，在BC上有一动点P．过P作PD∥BA与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （2）是否存在点P

（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
则

h

4

＝

6−x

6

⇒h＝

2

3

(6−x)(0＜x＜6)；
这样S₁=2x，S₃=

1

2

(6−x)•

2

3

(6−x)＝

1

3

(6−x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6−x)2=−

1

3

x2+2x；
即y=12-2x-

1

3

(6−x)2=−

1

3

x2+2x；
（2）S₂=−

1

3

x2+2x=−

1

3

(x2−6x+9)+3=−

1

3

(x−3)2+3，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．