是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.
是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.
数学人气:866 ℃时间:2019-08-19 04:53:59
优质解答
由于函数f(x)=x
2-2ax+a的对称轴为 x=a,
当a<-1 时,函数f(x)=x
2-2ax+a在定义域[-1,1]上是增函数,故有
,
解得 a=-1 (舍去).
当 0>a≥-1 时,函数f(x)=x
2-2ax+a在定义域[-1,1]上先减后增,故有
| f(a)=-a2+a =-2 | f(1)=1-2a+a=2 |
| |
,
解得a=-1.
当 1>a≥0 时,函数f(x)=x
2-2ax+a在定义域[-1,1]上先减后增,故有
| f(a)=-a2+a =-2 | f(-1)=1+2a+a=2 |
| |
,
解得a 无解.
当a≥1 时,函数f(x)=x
2-2ax+a在定义域[-1,1]上是减函数,
| f(-1) =1+3a =2 | f(1)=1-a=-2 |
| |
,解得 a 无解.
综上可得,a=-1.
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