在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2．

证法一：∵2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴B=60°，C=120°-A．
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

=

1

sin60°

，
再由合分比定理得：
a+c=

2 3

3

（sinA+sinC）
=

2 3

3

[sinA+sin（120°-A）]
=2sin（A+30°）≤2，
再由两边之和大于第三边，
∴1＜a+c．
∴1＜a+c≤2．
证法二：先得B=60°（同上得）．
再利用余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

，即

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，
即（a+c）²-1=3ac≤3（

a+c

2

）²．
解得a+c≤2．
又∵a+c＞1，
∴1＜a+c≤2．