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已知函数f(x)=2/3x3-2ax2+3x(x∈R). (1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程; (2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求
已知函数f(x)=
2
3
x
3
-2ax
2
+3x(x∈R).
(1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.
数学
人气:729 ℃
时间:2019-09-19 07:48:45
优质解答
(1)设切线的斜率为k,则k=f′(x)=2x
2
-4x+3=2(x-1)
2
+1,当x=1时,k
min
=1.
把a=1代入到f(x)中得:f(x)=
2
3
x
3
-2x
2
+3x,所以f(1)=
2
3
-2+3=
5
3
,即切点坐标为(1,
5
3
)
∴所求切线的方程为y-
5
3
=x-1,即3x-3y+2=0.
(2)f′(x)=2x
2
-4ax+3,因为y=f(x)为单调递增函数,则对任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)>0,
f′(x)=2x
2
-4ax+3>0,
∴a<
2
x
2
+3
4x
=
x
2
+
3
4x
,而
x
2
+
3
4x
≥
6
2
,当且仅当x=
6
2
时,等号成立.
所以a<
6
2
,则所求满足条件的最大整数a值为1.
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