在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
在△ABC中,当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状,
数学人气:155 ℃时间:2019-09-02 08:42:54
优质解答
根据正弦定理,原式可变形为:c(cosA+cosB)=a+b.①∵ 根据任意三角形射影定理(又称“第一余弦定理”):a=b·cosC+c·cosBb=c·cosA+a·cosC∴ a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b).②由于a+b≠0,故由①式、②式得:cosC...也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)上面的c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)是怎么来的?a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)左右乘以2,右边分类c^2一类,减的一类,其他一类法2使用射影定理反而麻烦∵(cosA+cosB)sinC=sinA+sinB∴cosA+cosB=(sinA+sinB)/sinC即(b^2+c^2-a^2)/2bc+(a^2+c^2-b^2)/2ac =(a+b)/ca(b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2ab(a+b)ab(a+b)+(a+b)c^2-(a+b)(a^2-ab+b^2) =2ab(a+b)c^2-a^2+ab-b^2=abc^2=a^2+b^2∴△ABC是C=90°的直角三角形。
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