函数有界性的充分必要条件是什么 并证明

本题可理解如下：
设函数f(x)在数集X有定义,试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
证明：充分性：
若f(x)上界 M 下界N
则：|f(x)|<=Max{M,N}
有界!
必要性：
反证法,假设f(x)在X上没有上界或下界.则：存在某数a,当x->a时,f(a)->∞,则|f(a)|->+∞,则不存在一个A,使得任意的x∈X都有|f(x)|