高数求极限的题目 lim(x→0) (arcsinx-sinx)/(arctanx-tanx)

高数求极限的题目 lim(x→0) (arcsinx-sinx)/(arctanx-tanx)
有正确答案但是我想知道为什么这样做是错的.
以下错解
因为arcsinx和arctanx~x
所以原式：lim(x→0)（x-sinx)/(x-tanx)
即lim(x→0)(x-sinx)/(x-sinx/cosx)
又因为当x→0时,cosx趋向于1
所以=lim(x→0)(x-sinx)/(x-sinx)=1
虽然知道错但纠结于不知道为什么错,是因为不能直接令cosx为1吗?如果是,那么为什么有些题目又可以直接将X趋向0时的cosx直接看作是一,拜谢