已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是

本题是在一道经典习题基础上衍化出来的,那道习题是说等边三角形内的任意一点到等边三角形三边的距离之和为定值,定值等于已知等边三角形的高.如图①,P是⊿ABC内部的一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,则PD+PE+PF=AH.利用面积的证明方法是连接PA、PB、PC,由AB=BC=CA及S⊿pbc+S⊿pca+S⊿pab=S⊿abc得
(1/2)PD*BC+(1/2)PE*CA+(1/2)PF*AB=(1/2)AH*BC,化简后即得PD+PE+PF=AH.
该习题变化后就出现图②和图③的情况.图②中P点位于∠BAC的对顶角内部,PD-PE-PF=AH；
图③中P点位于∠BAC的一个邻补角内部,PD+PE-PF=AH (P点在右侧时PD-PE+PF=PH).都可以用面积法证明.
本题中,PF=1,PE=2,PH=4,求PD的最小值可用示意图①1计算,由PD+2+1=4,得PDmin=1；
PD获得最大值的情况按示意图②计算,由PD-2-1=4,得PDmax=7..
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