bn=(a1+2a2+3a3+4a4+……+nan)/(1+2+3+4+……+n)证明an是等差数列是bn是等差数列的充要条件

证明：先证若an是等差数列,则bn是等差数列.（充分性）令Sn=a1+2a2+3a3+4a4+……+nan=(a1+a2+...+an)+(a2+a3+...+an)+...+(a(n-1)+an)+an=n个an的前n项和的一半+1个an的前n项和的一半=n(n+1)(a1+an)/2则bn=a1+an=2a1+...我是通过观察法得来的第1个括号内a1+a2+a3+...+an第二个括号内a2+a3+...+an……最后一项是an一共有n项这n排求和构成了一个等腰直角三角形，如果把它每一行缺的项补齐，它就成了一个“正方形”“正方形”的和就是n个{an}的前n项和。它的和就是“正方形”的一半，还要加上“对角线”上的一半。我想得复杂，应该还有其他方法吧。