E(x^4)
=∫x^4*1/√(2π)e^(-x^2/2)dx 积分区间(-∞,+∞)
=2∫x^4*1/√(2π)e^(-x^2/2)dx 积分区间(0,+∞)
分步积分.
=-2x^3*1/√(2π)e^(-x^2/2)+2/√(2π)∫3x^2*e^(-x^2/2)dx
=-2x^3*1/√(2π)e^(-x^2/2)-2/√(2π)3x*e^(-x^2/2)
+2/√(2π)∫3*e^(-x^2/2)dx
积分区间(0,+∞)
1/√(2π)∫e^(-x^2/2)dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^(-x^2/2)dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^(-x^2/2)-2/√(2π)3x*e^(-x^2/2)
=2x^3/√(2π)e^(x^2/2)-6x/√(2π)*e^(x^2/2)
利用罗必塔法则,
lim2x^3/√(2π)e^(x^2/2)-6x/√(2π)*e^(x^2/2)=0
所以E(x^4)=3
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