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已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R) (1)当a=1时,求f(x)的极小值; (2)若直线x+y+m=0对任意m∈R的都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
已知函数f(x)=x
3
-3ax(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)的极小值;
(2)若直线x+y+m=0对任意m∈R的都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
数学
人气:788 ℃
时间:2019-08-18 16:18:30
优质解答
(1)令f′(x)=3x
2
-3=0,得x=±1,
x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)的极小值为f(1)=-2;
(2)f(x)=x
3
-3ax(a∈R),则f′(x)=3x
2
-3a
若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,则直线的斜率为-1,f(x)′=3x
2
-3a与直线x+y+m=0没有交点,
又抛物线开口向上则必在直线上面,即最小值大于直线斜率,
则当x=0时取最大值,-3a>-1,
则a的取值范围为a
<
1
3
.
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