设O为锐角△ABC的外心,R为△ABC的外接圆半径,AO,BO,CO的延长线分别交BC,CA,AB于点D,E,F,求证:(1/AD)+(1/BE)+(1/CF)=(2/R)
证明 设K,M,N分别是锐角△ABC边BC,CA,AB上的中点,连OK,OM,ON.
∵AO=BO=CO=R,OK=R*cosA,OM=R*cosB,ON=R*cosC.
∠DOK=|(B-C)|,∠EOM=|(C-A)|,∠FON=|(A-B)|.
∴AD=AO+OK/cos(B-C)=R+R*cosA/cos(B-C)
=2R*sinB*sinC/cos(B-C).
同样可得:
BE=2R*sinC*sinA/cos(C-A);
CF=2R*sinA*sinB/cos(A-B).
故 1/AD+1/BE+1/CF
=[1/(2R)]*[cos(B-C)/sinB*sinC+cos(C-A)/sinC*sinA+cos(A-B)/sinA*sinB]
=[1/(2R)]*[cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB+3]
=[1/((2R)]*(1+3)=2/R
最后一步用到恒等式:
cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB=1.
另一种证法
设ha,hb,hc分别是△ABC边BC,CA,AB上的高,BC=a,CA=b,AB=c,S表示其面积.
∵1/AD=cos(B-C)/ha,1/BE=cos(C-A)/hb,1/CF=cos(A-B)/hc
S=(sinA*bc)/2=2R^2*4sinA*sinB*sinC
∴1/AD+1/BE+1/CF
=a*cos(B-C)/(2S)+b*cos(C-A)/(2S)+c*cos(A-B)/(2S)
=[a*cos(B-C)+b*cos(C-A)+c*cos(A-B)]/(2S)
=R*[sinA*con(B-C)+sinB*cos(C-A)+sinC*cos(A-B)]/S
=(R/S)*[sin(B+C)*con(B-C)+sin(C+A)*cos(C-A)+sin(A+B)*cos(A-B)]
=(R/S)*[sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)
=(R/S)*[4sinA*sinB*sinC]
=(R/S)*[S/(2R^2)]=2/R.
三角形ABC的外接圆O连接AO交BC于D,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=2/R
三角形ABC的外接圆O连接AO交BC于D,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=2/R
对于这样的问题该怎么来回答?请有心人帮帮忙做做.
对于这样的问题该怎么来回答?请有心人帮帮忙做做.
数学人气:348 ℃时间:2019-10-30 07:27:40
优质解答
我来回答
类似推荐
- O是三角形ABC外接圆的圆心连接AO交BC于D连接BO交AC于E连接CO交AB于F,R为半径,求证:1/AD+1/BE+1/CF=2/R
- 锐角三角形△ABC的外心为O,外接圆半径为R,延长AO,BO,CO,分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F;证明:1/AD+1/BE+1/CF=2/R.
- 三角形ABC的外接圆O,连接AO交BC于E,连接BO交AC于E,连接CO交AB于F.求证:1/AD+1/BE+1/CF=2/R
- 圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R
- 点O为三角形ABC中线AD上任意一点,BO,CO延长线分别交AC,AB于点E,F,连接EF,求证:EF平行于BC
猜你喜欢
- 1解方程组 x平方+y平方=5 x平方-xy-2y平方=0
- 2简算15/8除以(32/5*(10/9+6/1))
- 3-0.25的2003次方乘以4的2004次方等于多少?
- 4三,四年级共植树108棵,四年级比三年级多植树22棵,四年级各植树多少棵?
- 5氧化剂与还原剂的物质的量之比怎么算
- 6the government is planning to build a hospital____many migrant workers are now living.
- 7两地相距96千,甲乙两辆汽车分别从两地相对开出,5分之4小时相遇.甲车每小时行54千米
- 8关于读书的名言或俗语、谚语
- 9怎样和你的父母相处的英语作文
- 10I have two good friends.They are Tom and Mike.I am shorter than Tom,and Tom is shorter than