已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.
已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.
数学人气:456 ℃时间:2019-08-21 18:36:26
优质解答
依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.
设x
1是方程①和方程②的一个相同的实根,则
两式相减,可解得
x1=.(5分)
设x
2是方程③和方程④的一个相同的实根,则
两式相减,可解得
x 2=.
所以x
1x
2=1.(10分)
又∵方程①的两根之积等于1,于是x
2也是方程①的根,
则x
22+ax
2+1=0.
又∵x
22+x
2+a=0,两式相减,得(a-1)x
2=a-1.(15分)
若a=1,则方程①无实根,
所以a≠1,故x
2=1.
于是a=-2,b+c=-1.又a-b+c=3,
解得b=-3,c=2.(20分)
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