已知圆O：x2+y2=4，过点M（1，2）的两条弦AC，BD互相垂直，则|AC|+|BD|的最大值为_．
已知圆O：x
2+y
2=4，过点M（1，
）的两条弦AC，BD互相垂直，则|AC|+|BD|的最大值为______．
数学人气：148 ℃时间：2019-08-20 02:10:56
优质解答
过O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，连结OM
则矩形OPMN中，|OM|
2=|OP|
2+|ON|
2=1
2+（
）
2=3
根据垂径定理，得
|AC|
2=（2AN）
2=4（R
2-|ON|
2）=4（4-|ON|
2）
|BD|
2=（2BP）
2=4（R
2-|OP|
2）=4（4-|OP|
2）
∴|AC|
2+|BD|
2=4[8-（|OP|
2+|ON|
2）]=32-4×3=20
因此，结合基本不等式得（|AC|+|BD|）
2≤2（|AC|
2+|BD|
2）=40
当且仅当|AC|=|BD|=
时，|AC|+|BD|的最大值为2
故答案为：2
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