设函数f(x)=x2-2x-3在区间[t,t+1]上的最小值为g(t),

（1）当t≤0时,g(t)=t^2-4；当0＜t＜1时,g(t)=-4；当t≥1时,
g(t)=t^2-2t-3
（2）当当t∈[2,+∞）时,g(t)=t^2-2t-3,原条件变为
t^2-2t-3≥2a+1在当t∈[2,+∞）恒成立,即求
F(t)=t^2-2t-3在t∈[2,+∞）上的最小值,易求
其最小值为：-3,于是有-3≥2a+1,所以a的范围是a≤-2
希望此解对你有所帮助!