数列{an}满足a1=1,an+1*√[(1/an^2)+4]=1,记Sn=a1^2+a2^2+…+an^2,若S2n+1-Sn≤m/30对任意的n∈N+恒成立

数列{an}满足a1=1,an+1*√[(1/an^2)+4]=1,记Sn=a1^2+a2^2+…+an^2,若S2n+1-Sn≤m/30对任意的n∈N+恒成立
求正整数m的最小值?帮个忙谢谢.
数学人气:126 ℃时间:2020-03-31 19:50:40
优质解答
由an+1*√[(1/an^2)+4]=1 变形得1/a(n+1)^2-1/an^2=4
则{1/an^2}为首项为1公差为4的等差数列,故1/an^2=1+4(n-1)=4n-3
则an^2=1/(4n-3) 剩下的自己完成吧!这步我算出来了重点是后面我不会后面S2n+1-Sn能说明白一点么?S2n+1-Sn≤m/30对任意的n属于正整数恒成立不是这个意思,我是说S2n+1-Sn 中的2n+1是一个整体还S2n加1呀S(2n+1)-S(n)≤(m/30)对任意的n属于正整数恒成立解:设f(n)=S(2n+1)-Sn 则f(n+1)=S(2n+3)-S(n+1) 则f(n+1)-f(n)=S(2n+3)-S(n+1)-[S(2n+1)-Sn] =a(2n+3)^2+a(2n+2)-a(n+1)=1/(8n+9)+1/(8n+5)-1/(4n+1) =(-40n+31)/[(8n+9)(8n+5)(4n+1)<0故f(n)为减函数,故当n=1时f(n)最大,此时最大值等于f(1)=S3-S1=1/5+1/9=14/45故只需14/45<=m/30即可解得m的最小值为10
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