若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数

若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数
x成立,则称f（x）是回旋函数,且阶数为a．
（Ⅲ）若对任意一个阶数为a的回旋函数f（x）,方程f（x）=0均有实数根,求a的取值范围．
（Ⅲ）如果a=0,显然f（x）=0,则显然有实根．
下面考虑a≠0的情况．
若存在实根x0,则f（x0+a）+af（x0）=0,即f（x0+a）=0说明实根如果存在,那么加a也是实根．因此在区间（0,a）上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0
由于f（0+a）+af（0）=0,则f（0）=-f(a)/ a ,只要a＞0,即可保证f（0）和f（a）异号．
综上a≥0
我就想知道为什么证明出“实根如果存在,那么加a也是实根”之后能得出在区间（0,a）上必有一个实根的结论?