已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx(λ≤-1)是区间[-1,1]上的减函数,(1)求a的值.(2)若g(x)≤t2-λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx(λ≤-1)是区间[-1,1]上的减函数,(1)求a的值.(2)若g(x)≤t2-λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围.
数学人气:423 ℃时间:2020-04-25 03:29:12
优质解答
(1)f(x)=ln(e
x+a)是奇函数,
则ln(e
x+a)=-ln(e
-x+a)恒成立(2分)
∴(e
x+a)(e
-x+a)=1
1+ae
-x+ae
x+a
2=1
∴a(e
x+e
-x+a)=0
∴a=0(4分)
(2)又∵g(x)在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)
max=g(-1)=-λ-sin1(6分)
∴只需-λ-sin1≤t
2-λt+1,(8分)
∴(1-t)λ+t
2+sin1+1≥0(其中λ≤-1恒成立.
令h(λ)=(1-t)λ+t
2+sin1+1(λ≤-1)
则
(11分)
∴
而t
2+t+sin1≥0恒成立
∴t≥1(13分)
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