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已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,4]上的单调性,并证明你的结论.
已知函数f(x)=ax
3
+(a-1)x
2
+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,4]上的单调性,并证明你的结论.
数学
人气:614 ℃
时间:2019-12-20 09:56:51
优质解答
f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
证明如下:函数f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x)对于任意x的成立,
则有a(-x)
3
+(a-1)(-x)
2
+48(a-2)(-x)x+b=-[ax
3
+(a-1)x
2
+48(a-2)x+b]
必有a-1=0,b=0,
即a=1,b=0,
于是f(x)=x
3
-48x.
∴
f′
x
=3
x
2
−48
,
∴当
x∈(−4,4)∴f′
x
<0
,
所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
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