已知函数f（x）=alnx/x+1+b/x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx/x−1．

（I）f′(x)＝

a( x+1 x − lnx)

(x+1)2

−

b

x2

．
由于直线x+2y-3=0的斜率为-

1

2

，且过点（1，1）
所以

b＝1 a 2 −b

＝−

1

2

解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=

lnx

x+1

+

1

x

所以f(x)−

lnx

x−1

＝

1

1−x2

(2lnx−

x2−1

x

)
考虑函数h(x)＝2lnx−

x2−1

x

(x＞0)，
则h′(x)＝

2

x

−

2x2−(x2−1)

x2

＝−

(x−1)2

x2

所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得

1

1−x2

h(x)＞0；
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得

1

1−x2

h(x)＞0
从而当x＞0且x≠1时，
f(x)−

lnx

x−1

＞0即f(x)＞

lnx

x−1