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锐角△ABC,BC上有一点D,CA上有一点E,AB上有一点F,试证:存在唯一一组解,使△AEF∽△ABC,△BDF∽△BAC,△CDE∽△CAB.
锐角△ABC,BC上有一点D,CA上有一点E,AB上有一点F,试证:存在唯一一组解,使△AEF∽△ABC,△BDF∽△BAC,△CDE∽△CAB.
数学
人气:473 ℃
时间:2020-03-30 21:42:03
优质解答
作△ABC的三条高AD
0
,BE
0
,CF
0
,结论显然成立.
假设有一D点异于D
0
满足条件,
则△BDF∽△BAC,
∴
.
DF
∥
.
D
0
F
0
,
∴∠BFD=∠BF
0
D
0
=∠ACB,
同理
.
DE
∥
.
D
0
E
0
,
于是,若D在D
0
左侧,则E,F也在左侧,
⇒
.
EF
与
.
E
0
F
0
相交,故不平行;
∴∠AFE≠∠AF
0
E
0
=∠ACB,不符合要求.
若在右侧亦然,
所以假设不成立.
故D
0
,E
0
,F
0
为唯一一组满足条件的点.
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