设:正17边形在单位圆上的顶点的复数表示为,
Zk=cos(2kж/17)+isin(2kж/17) (k=0,1,2…16)
若记:ρ=cos(2kж/17)+isin(2ж/17),则除了1以外的其余16个项为:
ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8;ρ-1 ρ-2 ρ-3 ρ-4 ρ-5 ρ-6 ρ-7 ρ-8
若设 P=ρ+ρ2+.+ρ-8
Q=ρ3+ρ5+…+ρ-7
则:P+Q=ρ+ρ2+.+ρ8+ρ-1+ρ-2+.+ρ-8
=(1+ρ+ρ2+.+ρ8+ρ-1+.+ρ-8)-1
=-1
P*Q=(ρ+ρ2+ρ4+ρ8+ρ1+ρ-2+ρ-4+ρ-8)*(ρ3+ρ5+ρ6+ρ7+ρ-3+ρ-5+ρ-6+ρ-7)
=4(P+Q)
=-4
所以:P,Q是方程 X*X+X-4=0的根
P=1/2(-1+gen2(17))
Q=1/2(-1-gen2(17))
显然P,Q可以用尺规作出.
可见cos(2ж/17)可以用尺规作出.
作图的5个步骤:
1) 作出线段P,Q
2) 作出线段 u1,u2
3) 作出线段 V1
4) 作出单位圆,并在实轴上去一点v,使Ov=1/2V1,
过v作虚轴的平行线交单位圆与Z1,则Z0Z1(Z0=1),即为正17边形的一边.
5) 作出其余所有顶点,完成正17边形.
正十七边形的尺规作图法
正十七边形的尺规作图法
要详细一点,要让人看懂,不要含含糊糊的,不知所云.
如果满意的话,
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数学人气:481 ℃时间:2020-04-15 11:20:09
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