请问极限和导数有什么关系?

当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数.从这个定义就可以知道导数是由极限引出来的.
它写成关系式为：
f(x0)'=lim(x→x0）[f(x)-f(x0)]/(x-x0).那我从数列极限的ε-N以及函数极限的δ-ε的关系，没发现有极限和导数的关系啊。数列极限的ε-N以及函数极限的δ-ε的关系，这个只能说明是数列有极限，但数列不是函数，数列没有导数。那数列的极限有ε-N刻画，可这导数，我怎么看也看不出它和极限有什么关系。f(x0)'=lim(x→x0）[f(x)-f(x0)]/(x-x0).你要从定义去理解导数，前面这个定义数学表达式子中，等号左边是导数，等号右边是某个函数的极限lim，然后中间用等号建立联系，这不就是极限与导数的关系否？那么极限是怎么刻画出来的。不是通过ε-N语言来刻画么？ε-N语言来刻画极限，现在是用极限来刻画导数，你要用ε-N语言来刻画导数，那就复杂了。