关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问
关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问
大多书上都是用反证法(假设存在元素x属于Φ,但x不属于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假设的内容“Φ不是任何集合的子集”是错误的,即待证结论“Φ是任何集合的子集”是正确的).
但是我觉得这样证不对.换个思路,如果要证明“Φ是任何集合的子集”,只要能证明(元素x属于Φ,且x属于集合A)就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假设(元素x属于Φ,且x属于集合A)是错误的,即“Φ不是任何集合的子集”.难道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我觉得用Φ的定义(Φ不存在任何元素)和子集的定义(元素x属于A,且x属于B,那么A是B的子集)这2个“工具”来反证“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因为用子集的定义来推翻假设,前提是子集定义中的集合A,B必须都是有元集合,即非Φ集合,不适合于Φ.所以我认为“Φ是任何集合的子集”这个应该是人为强行赋予的定义,而非通过反证明推出来的一个定理.
子集的定义[若存在(所有)元素x属于集合A,那么x都属于集合B,当且仅当这样A就是B的子集]
设命题P:(所有)元素x属于集合A;
Q:x属于集合B;
Z:A是B的子集;
子集的定义可化成命题公式是:ZP->Q (1)
再设命题a:元素x属于Φ;
b:元素x属于任意集合A;
c:Φ是任意集合A的子集;
带入上命题公式(1)中,其实就是要证明带入后是一个永真式,即命题a=T,b=F是不可能的,因为命题a的真值永=T(Φ的定义),所以命题c永=T,即“Φ是任意集合A的子集”......证毕!
是不是这样的?
大多书上都是用反证法(假设存在元素x属于Φ,但x不属于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假设的内容“Φ不是任何集合的子集”是错误的,即待证结论“Φ是任何集合的子集”是正确的).
但是我觉得这样证不对.换个思路,如果要证明“Φ是任何集合的子集”,只要能证明(元素x属于Φ,且x属于集合A)就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假设(元素x属于Φ,且x属于集合A)是错误的,即“Φ不是任何集合的子集”.难道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我觉得用Φ的定义(Φ不存在任何元素)和子集的定义(元素x属于A,且x属于B,那么A是B的子集)这2个“工具”来反证“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因为用子集的定义来推翻假设,前提是子集定义中的集合A,B必须都是有元集合,即非Φ集合,不适合于Φ.所以我认为“Φ是任何集合的子集”这个应该是人为强行赋予的定义,而非通过反证明推出来的一个定理.
子集的定义[若存在(所有)元素x属于集合A,那么x都属于集合B,当且仅当这样A就是B的子集]
设命题P:(所有)元素x属于集合A;
Q:x属于集合B;
Z:A是B的子集;
子集的定义可化成命题公式是:ZP->Q (1)
再设命题a:元素x属于Φ;
b:元素x属于任意集合A;
c:Φ是任意集合A的子集;
带入上命题公式(1)中,其实就是要证明带入后是一个永真式,即命题a=T,b=F是不可能的,因为命题a的真值永=T(Φ的定义),所以命题c永=T,即“Φ是任意集合A的子集”......证毕!
是不是这样的?
数学人气:568 ℃时间:2020-01-27 02:44:44
优质解答
元素x属于A=>元素x属于B (1) 等价于: 元素x不属于B=>元素x不属于A (2) 所以只要证明 对于任意集合B,只要x不属于B,则x不属于Φ 就可以了.这一点是显然的,一位任何元素都不属于Φ 至于(2)和(1)为什么等价,这里只证从(2...
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