函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx． （I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件． （II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

（I）函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴F‘(x)＝2ax+2−

1

x

=

2ax2+2x−1

x

，
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴

△＝4+8a＞0 x1+x2＝− 1 a ＞0 x1•x2＝− 1 2a ＞0

，
解得−

1

2

＜a＜0，
∴F（x）有两个极值点的充要条件是−

1

2

＜a＜0．
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝

1

x

−2＝

1−2x

x

，
当x∈(0，

1

2

)时，h′（x）＞0，
当x∈(

1

2

，+∞)时，h′（x）＜0．
∴x＝

1

2

时，h（x）_max=ln

1

2

−2＜0，
故x∈（0，+∞），都有

lnx−(2x+1)

x2

＜0，
∴当a≥0时，a≥

lnx−(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．