关于线性代数证明能不能使用等价代换的方法

关于线性代数证明能不能使用等价代换的方法
证明向量组α1+α2、α2+α3、α3+α1线性无关的必要条件是向量组α1、α2、α3线性无关时：
因为α1+α2、α2+α3、α3+α1线性无关,
所以k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α1）=0 （k1∈R,k2∈R,k3∈R）只有在k1=k2=k3=0时成立
即（k1+k3）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3=0 （k1∈R,k2∈R,k3∈R）只有在k1+k3=k1+k2=k2+k3=0时成立
故得α1、α2、α3线性无关.
其中这个能不能等价代换,这样证明对吗?
我认为完全正确,只是我的老师硬说这样不可以.
重点是为什么不能这样.其他的方法我也知道,只是想找到这个做法对错的根据,而不是结果.