已知函数f（x）=sin（2x+π6）+sin（2x-π6）+2cos2x（x∈R）． （1）求函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值集合； （2）求函数f（x）的单调递增区间； （3）求使f（x）≥2的x的取值范围．

f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+1+cos2x=2sin2xcos

π

6

+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
（1）f（x）取得最大值3，此时2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

6

+kπ，k∈Z
故x的取值集合为{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}
（2）由2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）得，x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
故函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
（3）f（x）≥2⇔2sin（2x+

π

6

）+1≥2⇔sin（2x+

π

6

）≥

1

2

⇔

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ⇔kπ≤x≤

π

3

+kπ，（k∈Z）
故f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，

π

3

+kπ]，（k∈Z）