线性代数求 a 1 0 0 -1 b 1 0 0 -1 c 1 0 0 -1 d 的行列式

a 1 0 0
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d
依次作:r1+ar2,r2+br3,r3+cr4
0 1+ab a 0
-1 0 1+bc 0
0 -1 0 1+cd
0 0 -1 d
按第1列展开
1+ab a 0
-1 0 1+cd
0 -1 d
用对角线法则直接计算,得
(1+ab)(1+cd) + ad
= abcd + ab + cd + ad + 1也可以, 太麻烦了.比如: 01+aba0-1 0 1+bc0 0-10 1+cd 0 0 -1d此时,r1+(1+ab)r3+ar4, r2+(1+bc)r4, 再交换行看看.按行列式性质计算依次作: r1+ar2, r2+br3, r3+cr4 01+aba0-1 0 1+bc0 0-10 1+cd 0 0 -1dr1+(1+ab)r3+ar4 0 00 (1+cd)(1+ab)+ad-1 0 1+bc0 0-10 1+cd 0 0 -1d 第1行依次与第2,3,4行交换, 共交换3次, (-1)^3 *-1 0 1+bc0 0-10 1+cd 0 0 -1d0 00 (1+cd)(1+ab)+ad此为上三角行列式故行列式 = (-1)^3 *(-1)^3 *(1+cd)(1+ab)+ad = abcd + ab + cd + ad + 1.行列式结构如此, 好像不能再简单了