已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−2/3,满足Sn+1/Sn+2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.
已知数列{a
n}的前n项和为S
n,
a1=−,满足
Sn++2=an(n≥2),计算S
1,S
2,S
3,S
4,并猜想S
n的表达式.
数学人气:728 ℃时间:2020-03-22 18:59:55
优质解答
由题设得S
n2+2S
n+1-a
nS
n=0,当n≥2(n∈N
*)时,a
n=S
n-S
n-1,
代入上式,得S
n-1S
n+2S
n+1=0.(*)
S
1=a
1=-
,
∵S
n+
=a
n-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S
2+
=a
2-2=S
2-a
1-2,
∴
=
-2,
∴S
2=-
.
同理可求得 S
3=-
,S
4=-
.
猜想S
n =-
,n∈N
+,下边用数学归纳法证明:
①当n=1时,S
1=a
1=-
,猜想成立.
②假设当n=k时猜想成立,即S
K=-
,则当n=k+1时,∵S
n+
=a
n-2,∴
SK+1+=ak+1−2,
∴
SK+1+=SK+1−SK−2,∴
=
-2=
,
∴S
K+1=-
,∴当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即 S
n =-
,n∈N
+成立.
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