已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1/2，Sn＝n2an−n(n−1)，n＝1，2，… （1）证明：数列{n+1/nSn}是等差数列，并求Sn；（2）设bn＝Snn3，求证：b1+b2+…+bn＜1．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1＝

，Sn＝n2an−n(n−1)，n＝1，2，…
（1）证明：数列{

n+1

Sn}是等差数列，并求S_n；
（2）设bn＝

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

数学人气：641 ℃时间：2019-10-11 09:57:17

优质解答

证明：（1）由Sn＝n2an−n(n−1)知，
当n≥2时：Sn＝n2(Sn−Sn−1)−n(n−1)，…（1分）
即(n2−1)Sn−n2Sn−1＝n(n−1)，
∴

n+1

Sn−

n−1

Sn−1＝1，对n≥2成立． …（3分）
又

1+1

S1＝1
∴{

n+1

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴

n+1

Sn＝1+(n−1)•1…（5分）
∴Sn＝

n+1

…（6分）
（2）bn＝

＝

n(n+1)

＝

−

n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn＝1−

−

+…

−

n+1

=1−

n+1

＜1…（12分）

我来回答

类似推荐

猜你喜欢

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1/2，Sn＝n2an−n(n−1)，n＝1，2，… （1）证明：数列{n+1/nSn}是等差数列，并求Sn； （2）设bn＝Snn3，求证：b1+b2+…+bn＜1．