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锐角三角形ABC的三边长满足不等式AB<AC<BC,如果I为△ABC的内心,O为外心,求证:直线IO与线段AB及BC相交.
锐角三角形ABC的三边长满足不等式AB<AC<BC,如果I为△ABC的内心,O为外心,求证:直线IO与线段AB及BC相交.
数学
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时间:2019-08-21 09:40:12
优质解答
连接AO、CO并延长分别交对边于D、E,
∵∠AOC=2∠B,
∴∠OAC=90°-∠B<90°-∠C(∠A>∠B>∠C),
但90°-∠B+90°-∠C=∠A,从而∠OAC<
1
2
∠A,
即I在∠BAD内部.
又∵∠ACO=90°-∠B>90°-∠A,
同理有∠OCA>
1
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∠C.
∴I在∠ACE内部,即I在△AOE内,
从而IO与线段AB及BC相交.
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