i'm tired after working _ whole year without _ break.

a和the都属于冠词.
a表示的是任何一个,比如：a banana,一个香蕉.
the表示特指.比如：the banana,意思是那个香蕉（着重讲的是指定的那个,不是其他的.）
在这句话中,whole year和break,没有特别说是哪年,哪个假期
所以用a whole year; a break.