如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°； AD∥BC，BC=BD=5cm，CD=10cm．点P由B出发沿B方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为

（1）过点D作DF⊥BC于点M，设BM=x，DM=y，则
BM²+DM²=BD²，DM²+MC²=CD²，
∴x²+y²=5²①，y²+（5-x）²=（

10

）²②，
把①代入②得：
x=4，
即AD=4；
（2）∵PE∥AB，
∴

DE

DA

=

DP

BD

，
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

4

=

5−t

5

，
解得：t=

20

9

，
∴当t=

20

9

时，PE∥AB；
（3）如图2，过点E作EG⊥BD于点G，
∵∠A=∠EGD=90°，∠EDG=∠BDA，
∴Rt△ABD～Rt△GED，
∴

AB

BD

=

GE

DE

，
∵BD=5，AB=3，ED=t，
∴GE=

3

5

t，
∵PQ=5-2t，
∴y=

1

2

×（5-2t）×

3

5

t=-

3

5

t²+

3

2

t；
（4）连接PF，如图2，在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴

DE＝BP ∠EDP＝∠PBF PD＝BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴PE=PF．
故答案为：4．