第一个问题:
取AC的中点为D.
∵PA=PC、D∈AC且AD=CD,∴PD⊥AC.
∵PA=PC=AC=4、D∈AC且PD⊥AC,∴PD=(√3/2)PA=2√3.
∵AB=BC=2√2、AC=4,∴AB^2+BC^2=AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有:AB⊥AC,
又D∈AC且AD=CD,∴BD=AC/2=2.
∵PB=4、PD=2√3、BD=2,∴PD^2+BD^2=PB^2,∴PD⊥BD.
由PD⊥AC、PD⊥BD、AC∩BD=D,得:PD⊥平面ABC,而PD在平面APC上,
∴平面ABC⊥平面APC.
第二个问题:
过A作AE⊥平面PBC交平面PBC于E,取BC的中点为F.
∵BD⊥AC,∴△ABC的面积=(1/2)AC×BD=(1/2)×4×2=4.
∵PD⊥平面ABC,∴P-ABC的体积=(1/3)△ABC的面积×PD=(1/3)×4×2√3=8√3/3.
∵PB=PC=4、BC=2√2、F∈BC且BF=CF,∴BF=√2、PF⊥BF,
∴由勾股定理,有:PF=√(PB^2-BF^2)=√(16-2)=√14.
∴△PBC的面积=(1/2)BC×PF=(1/2)×2√2×√14=2√7.
∵AF⊥平面PBC,∴A-PBC的体积=(1/3)△PBC的面积×AF=(2√7/3)AF.
显然有:A-PBC的体积=P-ABC的体积,∴(2√7/3)AF=8√3/3,∴AF=4√3/√7.
∴cos∠PAF=AF/PA=(4√3/√7)/4=√3/√7,
∴sin∠PAF=√[1-(cos∠PAF)^2]=√(1-3/7)=2/√7=2√7/7.
∵AF⊥平面PBC,∴∠PAF就是PA与平面PBC所成的角,
∴PA与平面PBC所成角的正弦值是 2√7/7.
在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2√2⑴求证:平面ABC垂直平面APC⑵求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2√2⑴求证:平面ABC垂直平面APC⑵求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
数学人气:158 ℃时间:2020-01-29 02:22:05
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