高数向量证明(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a

以下a,b,c均表示向量.
取一个右手直角坐标系,设
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3).
由于axb=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以(axb)xc的第一个坐标为
(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2.
另一方面,(a·c)·b-(b·c)·a的第一个坐标为
(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2
因此等式两边的向量的第一个坐标相等,同理可证其他两个坐标也相等,从而等式成立