若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=_.
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=______.
数学人气:174 ℃时间:2019-11-04 16:09:00
优质解答
由于f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4],
可知b≠0,∴f(x)为二次函数,
f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx
2+(2a+ab)x+2a
2.
∵f(x)为偶函数,
∴其对称轴为x=0,∴-
=0,
∴2a+ab=0,∴a=0或b=-2.
若a=0,则f(x)=bx
2与值域是(-∞,4]矛盾,∴a≠0,
若b=-2,又其最大值为4,
∴
=4,∴2a
2=4,
∴f(x)=-2x
2+4.
故答案为-2x
2+4
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