设弦交双曲线于A、B两点,A(x1,y1)B(x2,y2),
则AB中点为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),
因为k1存在,所以x1不等于x2,
所以k1=(y2-y1)/(x2-x1),k2=(y2+y1)/(x2+x1),
k1k2=(y2^2-y1^2)/(x2^2-x1^2) (1).
又A、B为双曲线上的点,
所以A、B满足双曲线方程,得
y1^2=(b^2*x1^2-a^2*b^2)/a^2 (2)
y2^2=(b^2*x2^2-a^2*b^2)/a^2 (3)
(2)(3)两式代入(1)得
k1k2=[(b^2*x2^2-a^2*b^2)-(b^2*x1^2-a^2*b^2)]/[a^2(x2^2-x1^2)]
=[b^2(x2^2-x1^2)]/[a^2(x2^2-x1^2)]
=b^2/a^2为定值
所以命题得证,K1K2为定值.
若双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的任一弦的斜率记为K1,该重点与原点连线斜率为K2,正K1K2为定值
若双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1的任一弦的斜率记为K1,该重点与原点连线斜率为K2,正K1K2为定值
数学人气:868 ℃时间:2020-05-05 06:49:31
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