在三角形ABC中,作BC的垂线交BC于D,联结AD,设AD=h.
因AB=c,AC=b,BC=a,BD=c*cosB,CD=BC-BD=a-c*cosB,
1、证明正弦定理
因 h=AB*sinB=AC*sinC,
即:c*sinB=b*sinC
整理,得:b/sinB=c/sinC,
同理可得:c/sinC=a/sinA,
故证得正统定理:
a/sinA=b/sinB=c/sinC,
2、证明余弦定理
在三角形ABD中,
AB^2=AD^2+BD^2
=h^2+(BD)^2
=[AC^2-(CD)^2]+(BD)^2
=b^2-(a-c*cosB)^2+(c*cosB)^2
=b^2-a^2+2ca*cosB
移项,得余弦定理之一:
b^2=c^2+a^2-2*c*a*cosB,
同理可证:
c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC,
a^2=b^2+b^2-2*b*c*cosA,
证毕.
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