求平面z=c(c>0)与椭圆抛物面z=1/2(x^2/a^2+y^2/b^2)所围立体的体积

令 x=arcost,y=brsint ,得
V = ∫∫∫dv = ∫dt∫abrdr∫dz
= ∫dt∫abr(c-r^2/2)dr
= -2πab∫(c-r^2/2)d(c-r^2/2)
= -πab[(c-r^2/2)^2] = -πabc^2为什么是c到r^2/2,∫<0,√(2c)>abrdr，什么意思啊，咋来的，谢谢椭圆抛物面 z=1/2(x^2/a^2+y^2/b^2)
在变换 x=arcost,y=brsint 下是 z=r^2/2.
平面 z=c 与椭圆抛物面 z=r^2/2 的交线在xoy面上的投影是
c=r^2/2, 得 r=√(2c)。
在柱面坐标系中，z积分限是从 椭圆抛物面 z=r^2/2到 平面 z=c。
坐标变换 x=arcost,y=brsint是一般变换，其雅克比行列式
J(r,t)=
|∂x/∂r∂x/∂t|
|∂y/∂r∂y/∂t|
J(r,t)=
|acost-arsint|
|bsint brcost|
= abr.
故 dxdy=abrdrdt (相当于极坐标的 dxdy=rdrdt )