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已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且CF/CB=CG/CD=2/3. 求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.
已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且
CF
CB
=
CG
CD
=
2
3
.
求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.
数学
人气:252 ℃
时间:2020-01-29 13:31:43
优质解答
证明:(1)在△ABD和△CBD中,
∵E、H分别是AB和AD的中点,∴EH
∥
.
.
1
2
BD
又∵
CF
CB
=
CG
CD
=
2
3
,∴FG
∥
.
.
2
3
BD.
∴EH∥FG
所以,E、F、G、H四点共面.
(2)由(1)可知,EH∥FG,且EH≠FG,即直线EF,GH是梯形的两腰,
所以它们的延长线必相交于一点P
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线,而点P是上述两平面的公共点,
∴由公理3知P∈AC.
所以,三条直线EF、GH、AC交于一点
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