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如图,四边形ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,PB=AB=2MA.求证: (1)平面AMD∥平面BPC; (2)平面PMD⊥平面PBD.
如图,四边形ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,PB=AB=2MA.求证:
(1)平面AMD∥平面BPC;
(2)平面PMD⊥平面PBD.
数学
人气:344 ℃
时间:2019-10-23 14:46:10
优质解答
证明:(1)因为PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,所以PB∥MA.因PB⊂平面BPC,MA不在平面BPC内,所以MA∥平面BPC.同理DA∥平面BPC,因为MA⊂平面AMD,AD⊂平面AMD,MA∩AD=A,所以平面AMD∥平面BPC.(6分)
(2)连接AC,设AC∩BD=E,取PD中点F,连接EF,MF.
因ABCD为正方形,所以E为BD中点.
因为F为PD中点,所以EF
∥
.
.
1
2
PB.因为AM
∥
.
.
1
2
PB,所以AM
∥
.
.
EF.
所以AEFM为平行四边形.所以MF∥AE.因为PB⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,
所以PB⊥AE.所以MF⊥PB.
因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD.所以MF⊥BD.
所以MF⊥平面PBD.又MF⊂平面PMD.
所以平面PMD⊥平面PBD.(14分)
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