如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,且AD+BC=DC,求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB中点,且AD+BC=DC,求证:DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
数学人气:849 ℃时间:2019-08-19 15:36:59
优质解答
证明:延长DA和CE交于F,
∵AD∥BC,即AF∥BC,
∴∠F=∠BCE,∠FAE=∠CBE,
∵E是AB中点,
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中,
∠F=∠BCE
∠FAE=∠CBE
AE=BE

∴△AEF≌△BEC(AAS),
∴EF=CE,AF=BC,
∴DF=AD+AF=AD+BC=DC,
在△DEF和△DEC中,
DE=DE
DF=DC
EF=CE

∴△DEF≌△DEC(SSS),
∴∠FDE=∠CDE,即DE平分∠ADC,∠DEF=∠DEC,
∵∠DEF+∠DEC=180°,
∴∠DEF+∠DEC=90°,即DE⊥EC,
∵DF=DC,
∴∠DCE=∠F,
∵AF∥BC,
∴∠BCE=∠F,
∴∠BCE=∠DCE,即CE平分∠BCD.
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