二元 多元函数问题 高数 看到书上说二元函数极限定义里为何要强调P在D与P0的交集中,在一元函数里,说在某一邻阈有定义是因为定义中没有给出定义阈,二多元函数极限定义中明确给出定义阈D,也就是说D内点都有定义,那为何要P取在交集里?

这是因为二元函数的定义域比一元函数要复杂,比如二元函数的定义域可以是一条线,如果只是一条线,虽然这条线经过P点,但是因为一条线不能包含P的邻域（P的邻域是一个小区域）,因此只能沿着这条线来求极限.你可以注意到,...你说的这个我懂，但还是没回答我的问题，因为p0本身不要求有定义，就是p0是聚点，d可以包含边界点也可以不包含，但是我的意思是p在D内取任意值都可以达到趋近于p0的目的啊，为何非得限定在一个交集里，只要在d内就可以求极限，因为都有定义啊，无论是从边界还是D内部，都可以任意趋近啊，这样吧，让我们去掉 “P∈D∩P的邻域” 这个条件，看看是什么效果。P(x0,y0)定义：任取ε>0，存在δ>0，当0<√[(x-x0)²+(y-y0)²]<δ时，有|f(x,y)-A|<ε。如果这样写的话，0<√[(x-x0)²+(y-y0)²]<δ中可能会包含没有定义的点，这样写的话作为定义是不合适的。虽然你可以说我们在0<√[(x-x0)²+(y-y0)²]<δ中只取有定义的点，如果你是这样说的话，其实就是取了交集。在一元函数极限定义中，由于一开始就限定了P的邻域内有定义，因此不会出现这个情况。没错啊，你说可能包含没定义的点，关键是在D内，就是在定义域内，肯定有定义啊，定义题干就要给出了定义域为D，一元函数没给出所以得假定x0的邻域有定义，但这个给出了D了。我理解你的意思，你是说因为前面已经提到定义域是D了，所以这里肯定是在定义域内取值，没必要再提了。所以你在理解这个问题时其实在你的脑子里已经让D和P的邻域做了个交集了，只是没有把它写出来，书上把它写出来而己，你的理解和书上的没有矛盾。如果这里不写交集，可能你的理解就是一定在定义域中，但是也会有人不这么理解，他们就会提出是不是这里包含了定义域之外的点？这说明什么？说明这样写会有歧义，但是加了交集，就不会有任何歧义了，虽然你可能认为有点多余，但不会把它理解错。